Әлібек Қуантыров 1983 жылы Атырау қаласында туған. 

Томск мемлекеттік университетін, Мичиган университетін бітірген. 

Еңбек жолын 2005 жылы ҚР Экономика және бюджеттік жоспарлау министрлігінде жетекші маманның м.а. болып бастады. 

2005-2010 жж. — ҚР Экономика және бюджеттік жоспарлау министрлігінде түрлі лауазымдарда жұмыс істеді. 

2010-2013 жж. — ҚР Қаржы министрлігінің Бюджеттік жоспарлау және болжамдау департаменті директорының орынбасары. 

2013 ж. — ҚР Индустрия және жаңа технологиялар министрлігінің Геология және жер қойнауын пайдалану комитеті төрағасының орынбасары. 

2013-2019 жж. — ҚР Президент Әкімшілігінде түрлі қызметтер атқарды. 

2019 жылғы сәуірден қазіргі уақытқа дейін — ҚР Тұңғыш Президенті – Елбасы Кеңсесінің Ақпараттық-сараптамалық қамтамасыз ету бөлімінің меңгерушісінің орынбасары.

2021 жылғы ақпаннан 2022 жылғы қаңтарға дейін үкімет қаулысымен Қазақстан Ұлттық экономика вице-министріболды.

Қазақстан Мәжілісідепутаттарының алдында сөз сөйлеп жатқан Қуантыров, 2023 жылдың қыркүйегі

2022 жылғы 11 қаңтарда Қуантыров Қазақстанның Ұлттық экономика министрі болып тағайындалды. 2023 жылғы сәуірде қайта тағайындалды. Әлихан Смайылов үкіметінің отставкасынан кейін, 2024 жылғы 6 ақпанда ол министр қызметінен босатылды.