Әлібек Қуантыров 1983 жылы Атырау қаласында туған. 

Томск мемлекеттік университетін, Мичиган университетін бітірген. 

Еңбек жолын 2005 жылы ҚР Экономика және бюджеттік жоспарлау министрлігінде жетекші маманның м.а. болып бастады. 

2005-2010 жж. – ҚР Экономика және бюджеттік жоспарлау министрлігінде түрлі лауазымдарда жұмыс істеді. 

2010-2013 жж. – ҚР Қаржы министрлігінің Бюджеттік жоспарлау және болжамдау департаменті директорының орынбасары. 

2013 ж. – ҚР Индустрия және жаңа технологиялар министрлігінің Геология және жер қойнауын пайдалану комитеті төрағасының орынбасары. 

2013-2019 жж. – ҚР Президент Әкімшілігінде түрлі қызметтер атқарды. 

2019 жылғы сәуірден қазіргі уақытқа дейін – ҚР Тұңғыш Президенті – Елбасы Кеңсесінің Ақпараттық-сараптамалық қамтамасыз ету бөлімінің меңгерушісінің орынбасары.

2021 жылғы ақпаннан 2022 жылғы қаңтарға дейін үкімет қаулысымен Қазақстан Ұлттық экономика вице-министрі болды.

2022 жылғы 11 қаңтарда Қуантыров Қазақстанның Ұлттық экономика министрі болып тағайындалды.

2023 жылғы сәуірде қайта тағайындалды. Әлихан Смайылов үкіметінің отставкасынан кейін, 2024 жылғы 6 ақпанда ол министр қызметінен босатылды.

2024 жылғы 1 сәуірде Kazenergy қауымдастығының бас директоры болып тағайындалды. Ол бұл қызметті сол жылдың 8 тамызына дейін атқарды.

2024 жылғы 30 шілдеде Президент өкімі арқылы Қуантыров Сыртқы істер вице-министрі болып тағайындалды.

2026 жылғы 3 қыркүйекте Мемлекет басшысының Жарлығымен Әлібек Сакенұлы Қуантыров Қазақстан Республикасының Экология және табиғи ресурстар министрі болып тағайындалды, ол бұрынғы атқарған лауазымынан босатылды.