Куаныш Еликбаев родился в 1988 году в Костанайской области.
Окончил Казахстанско-Британский технический университет, Университет Международного Бизнеса, Казахский агротехнический университет им. С. Сейфуллина, Дипломатическую академию Министерства иностранных дел Российской Федерации, Российский университет дружбы народов.
Трудовую деятельность начал в 2005 году программистом-администратором сети.
С 2006 по 2007 годы работал в частных компаниях.
В 2009-2012 гг. трудился ведущим специалистом, главным экспертом, начальником управления, заместителем директора Департамента технического регулирования в АО "Главное диспетчерское управление нефтяной и газовой промышленности" ("Информационно-аналитический центр нефти и газа").
В 2012-2014 гг. работал консультантом отдела разработки технических регламентов, советником отдела методологии Департамента технического регулирования и аккредитации Евразийской экономической комиссии (г. Москва).
В 2015-2016 гг. — и.о. главного эксперта, главный эксперт, руководитель Управления по вопросам функционирования ЕврАзЭС и Таможенного Союза Департамента международной экономической интеграции Министерства национальной экономики РК.
В 2016 году работал заместителем генерального директора в РГП "Казахстанский институт стандартизации и сертификации" Комитета технического регулирования и метрологии МИИР РК.
В 2017-2021 гг. — заместитель директора Департамента функционирования внутренних рынков Евразийской экономической комиссии (г. Москва).
С января 2022 года и по настоящее время занимал должность заместителя председателя Комитета технического регулирования и метрологии МТИ РК.
Ранее занимавший этот пост Абенов Арман Даулетович освобожден от должности согласно поданному заявлению.
